Statystyka – Porady | Analizy | Opracowania | Obliczenia | Pomoc statystyczna
Harmoniczna analiza danych ma zgodnie z założeniem prowadzić do utworzenia modelu składającego się z sumy (harmonijek) funkcji kosinusoidalnych lub też sinusoidalnych w określonym przedziale czasowym.


W przypadku występowania tendencji rozwojowej, parametr zostaje zastąpiony funkcją trendu f(t). Zastosowanie klasycznej metody najmniejszych kwadratów sprowadza się do użycia następujących wzorów:


    
    
dla ostatniej harmoniki , natomiast szacuje się ze wzoru:


Wielkość amplitud wyznacza się ze wzoru:


W celu ich zlokalizowania na osi czasu wyznacza się wartość przesunięcia czasowego
, gdzie ,
W modelu nie trzeba ujmować wszystkich harmonik, wystarczą te, które istotne. W celu stwierdzenia istotności danej harmoniki należy zastosować test Schustera. Nadzieja matematyczna kwadratu amplitudy wynosi:



gdzie: jest wariancją zmiennej Y, natomiast n jest liczba obserwacji.
Parametr zastępuje się zwykle wariancją z próby.
Schuster udowodnił, że prawdopodobieństwo tego, że będzie k razy większe od jest równe:


Przyjmując, że:

Jeśli zajdzie:
to hipotezę Ho głoszącą, że dana amplituda jest statystycznie nieistotna możemy odrzucić na poziomie istotności i przyjąć, że dana harmonika powinna wejść do modelu.


opracowane na podstawie: M. Cieślak „Prognozowanie gospodarcze – metody i zastosowania” , PWN Warszawa 1997.
Mirosław Wójciak skrypt: Zbiór zadań z ekonometrii (w przygotowaniu).
- - -
PRZYKŁAD - prognozowanie sprzedaży usługi teleinformatycznej

Celem niniejszego opracowania jest stworzenie prognozy sprzedaży pewnej usługi proponowanej przez operatora telekomunikacyjnego X na 12 kolejnych miesięcy dysponując obserwacjami miesięcznymi sprzedaży z okresu styczeń 2004 do październik 2005, co daje w sumie 22 obserwacje. Dane, na podstawie których modelowano to zagadnienie to szeregi czasowe czterech obszarów telekomunikacyjnych, które dają w sumie sprzedaż usługi w jednym z regionów kraju. Na ten region składają się obszary oznaczone jako S, T, U oraz W. Wizualna analiza szeregów czasowych czterech regionów pozwoliła na sformułowanie hipotezy, iż każdy region cechuje się różnymi wahaniami o różnej amplitudzie. W związku z tym przeprowadzono analizę cykliczności dla każdego obszaru osobno, sporządzono indywidualne prognozy a następnie zsumowano wyniki otrzymując prognozę dla całego regionu. W kolejnym kroku analizy wyeliminowano ewentualne wahania spowodowane różnicami w ilości dni w poszczególnych miesiącach. Sprowadzono wszystkie miesiące do wykładnika 31 dni. Przeliczenia wykonano wg formuły:

Gdzie: - liczba dni miesiąca t; - sprzedaż usługi w miesiącu t w sztukach; Na podstawie posiadanych danych wykonano model metoda wielomianów trygonometrycznych dla okręgu „S”. Wyznaczone wartości poszczególnych parametrów harmonik zamieszczono w tabeli 1 Tabela 1. Parametry modelu dla obszaru S oraz amplitudy harmonik

i

Długość cyklu

ai

bi

Amplitudy Ai

% wyjaśniania

Wartość sprawdzianu k*

1

22

520,80

-92,68

528,98

21,14%

2,33

2

11

-902,92

-127,26

911,84

62,81%

6,91

3

7,3

-202,56

109,80

230,40

4,01%

0,44

4

5,5

-21,89

225,28

226,34

3,87%

0,43

5

4,4

155,06

-30,72

158,08

1,89%

2,11

6

3,7

-109,58

134,11

173,18

2,27%

0,25

7

3,1

-23,11

-134,01

135,99

1,40%

0,15

8

2,8

-29,04

2,10

29,11

0,06%

0,01

9

2,4

60,00

-101,18

117,63

1,05%

0,11

10

2,2

10,28

137,55

137,93

1,44%

0,16

11

2

0

21,59

21,59

0,04%

0,00

Kierując się kryterium najwyższego wyjaśniania wariancji do modelu wybrać należy tą harmonikę, która ma najwyższy procent wyjaśniania, czyli harmonikę i=2 oraz harmonikę i=1. Analizując wyniki testu Schustera i przyjmując poziom istotności alfa = 0,05 (czyli k=3), hipotezę głoszącą, iż dana amplituda jest przypadkowa, odrzucić należy tylko w przypadku harmoniki o długości cyklu równym 11 (k*=6,6). Model przyjmuje postać:

Wartości teoretyczne i prognozy oszacowane na podstawie powyższego modelu po wprowadzeniu korekty ze względu na liczbę dni miesiąca przedstawiono graficznie na wykresie 1.

Wykres 1. Prognozy sprzedaży usługi w okręgu „S” sporządzone na podstawie modelu uwzględniającego harmonikę i=2.

Kolejnym obszarem regionu północnego jest obszar T. oszacowany model dla tego obszaru zaprezentowano w tabeli 2. Tabela 2. Parametry modelu dla obszaru „T”

i

Długość cyklu

ai

bi

Amplitudy Ai

% wyjaśniania

Wartość sprawdzianu k*

1

22

411,53

-149,68

437,90

14,75%

1,62

2

11

-769,65

-318,62

832,99

53,38%

5,87

3

7,3

-477,84

128,52

494,82

18,84%

2,07

4

5,5

-123,21

96,61

156,57

1,89%

0,21

5

4,4

-58,48

-25,16

63,66

0,31%

0,03

6

3,7

17,67

74,98

77,03

0,46%

0,05

7

3,1

-98,56

-118,88

154,42

1,83%

0,20

8

2,8

86,97

-35,24

93,84

0,68%

0,07

9

2,4

79,71

-293,07

303,72

7,10%

0,78

10

2,2

-11,86

37,88

39,69

0,12%

0,01

11

2

0,00

-64,92

64,92

0,32%

0,04

Kierując się kryterium najwyższego procentu wyjaśniania należy wybrać do modelu harmonikę 2, która wyjaśnia 53% zmienności. Ponadto należy uwzględnić także harmonikę 3 wyjaśniającą 18% zmienności sprzedaży. Te dwie harmoniki tłumaczą w sumie 69% wariancji. Jednakże zgodnie z przyjętym w pracy kryterium testu Schustera do modelu wprowadzono tylko harmonikę i=2. Model ma postać:

Wartości teoretyczne i prognozy oszacowane na podstawie powyższego modelu po wprowadzeniu korekty ze względu na liczbę dni miesiąca przedstawiono graficznie na wykresie 2.

Wykres 2. Prognozy sprzedaży usługi w okręgu „T” sporządzone na podstawie modelu uwzględniającego harmonikę i=2.

Wyznaczone parametry modelu dla obszaru „U” zawarto w tabeli 3. Tabela 3. Parametry modelu dla obszaru „U”

i

Długość cyklu

ai

bi

Amplitudy Ai

% wyjaśniania

Wartość sprawdzianu k*

1

22

223,17

20,16

224,08

16,79%

1,85

2

11

-374,15

-110,33

390,08

50,87%

5,60

3

7,3

-81,71

0,14

81,71

2,23%

0,25

4

5,5

-64,03

79,47

102,06

3,48%

0,38

5

4,4

-40,10

92,58

100,89

3,40%

0,37

6

3,7

-14,57

103,68

104,70

3,66%

0,40

7

3,1

-88,02

-81,57

120,00

4,81%

0,53

8

2,8

-98,86

-3,31

98,92

3,27%

0,36

9

2,4

67,17

-105,97

125,46

5,26%

0,58

10

2,2

-51,40

-68,88

85,95

2,47%

0,27

11

2

0,00

-74,80

74,80

1,87%

0,21

Największy udział w wyjaśnianiu wariacji ma harmonika i=2 o cyklu 11 miesięcznym. Wyjaśnia ona 51% wahań. Pozostałe harmoniki z uwagi na mały poziom wyjaśniania należy uznać za nieistotne. Model wraz z uwzględnioną funkcją trendu ma postać:

Dopasowanie tego modelu do danych empirycznych (po uwzględnieniu korekty liczby dni w miesiącu) przedstawia wykres 3.

Wykres 3. Prognozy sprzedaży usługi w okręgu „U” sporządzone na podstawie modelu uwzględniającego harmonikę i=2.

Wyniki dla czwartego analizowanego obszaru przedstawiono w tabeli 4. Tabela 4. Parametry modelu dla obszaru „W”

i

Długość cyklu

ai

bi

Amplitudy Ai

% wyjaśniania

Wartość sprawdzianu k*

1

22

201,47

-74,08

214,66

9,13%

1,00

2

11

-481,01

320,39

577,94

66,18%

7,28

3

7,3

32,76

60,65

68,93

0,94%

0,10

4

5,5

106,98

104,09

149,26

4,41%

0,49

5

4,4

64,57

-72,52

97,10

1,87%

0,21

6

3,7

63,76

-142,61

156,21

4,84%

0,53

7

3,1

-42,20

-26,32

49,74

0,49%

0,05

8

2,8

208,66

-25,80

210,25

8,76%

0,96

9

2,4

-88,02

85,03

122,38

2,97%

0,33

10

2,2

5,16

-31,79

32,21

0,21%

0,02

11

2

0,00

-22,94

22,94

0,10%

0,01

Kierując się kryterium zaproponowanym przez Schustera istotna jest tylko harmonika i=2, dla której k*=6,95. Pozostałe harmoniki na poziomie istotności 0,05 można uznać za nieistotne. Kierując się kryterium wyjaśniania wariancji należy zwrócić uwagę na harmonikę i=8 o długości cyklu 2,8 miesiąca (w przybliżeniu można uznać ten cykl za kwartalny). Wyróżnia się ona znacznie spośród pozostałych i wyjaśnia 8,4% zmienności. Model wraz z trendem ma postać:

Wartości teoretyczne tak sformułowanego modelu kształtują się następująco.

Wykres 4. Prognozy sprzedaży usługi w okręgu „W” sporządzone na podstawie modelu uwzględniającego harmonikę i=2.

Dysponując prognozami poszczególnych obszarów sformułowano prognozę sprzedaży dla całego regionu będącą sumą prognoz cząstkowych. Taką prognozę przedstawiono w poniższej tabeli.

Wykres 5. Prognozy sprzedaży usługi dla całego obszaru (prognoza na okres listopad 2005 – listopad 2006)

Zgodnie z wynikami zaprezentowanymi na wykresach należy zauważyć, iż zjawisko sprzedaży usługi telekomunikacyjnej cechuje się sezonowością. Sezonowość tą opisano za pomocą metody wielomianów trygonometrycznych, stosując do identyfikacji istotnych cykli test Schustera. Zgodnie z prognozami należy zauważyć, iż sprzedaż osiąga wartości wysokie w miesiącach letnich (lipiec, sierpień) natomiast w miesiącach zimowych sprzedaż jest na zdecydowanie niższym poziomie

Wszelkie uwagi mile widzane:
statystyka@biostat.com.pl
©2013 Statystyka.az.pl
Wszystkie prawa zastrzeżone.
Kontakt