Korelacja rho-Spearmana

Współczynnik korelacji $rho-Spearmana$ jest nieparametrycznym odpowiednikiem współczynnika $r-Pearsona$. Podobnie jak w wypadku parametrycznej korelacji, ten współczynnik również mierzy siłę współzależności pomiędzy zmiennymi, jednak w tym wypadku nie jest już wymagana skala ilościowa o rozkładzie normalnym.

W przypadku współczynnika $rho-Spearmana$ korzysta się z zmiennych porządkowych, więc jeśli w badaniu występują zmienne ilościowe, to w teście korelacji należy je przerangować. Istotnym podczas rangowania zmiennych jest fakt, aby trzymać się jednej konwencji skali, uszeregowanej w odpowiedniej kolejności – wzrost lub spadek danej cechy, jako kolejne parametry rang. Jednie przy takim założeniu, korelacja $rho-Spearmana$ daje wyniki adekwatne do badanego zagadnienia. Jeżeli w trakcie rangowania natkniemy się na obserwacje, dla których ranga występuje kilkakrotnie w zbiorze danych, przypisujemy im wartość średnią z pozycji, którą by zajmowały – są to tzw. rangi wiązane.

Jedną z dodatkowych korzyści przerangowania obserwacji ilościowych jest redukcja wpływu obserwacji odstających na wynik testu, co jest cechą niezwykle przydatną w małolicznych grupach. Dodatkowo rangowanie jest niezbędne, gdy sprawdza się korelację pomiędzy zmienną ilościową (np. poziomem IQ), a porządkową (np. wykształceniem – podstawowym, średnim, wyższym etc.), gdzie rozwiązanie $r-Pearsona$ nie jest w stanie udzielić nam poprawnej odpowiedzi dla takiego zagadnienia.

Wzór na korelację $rho-Spearmana$ prezentuje się następująco:

$r_S = 1 -$${\frac {6 \sum\limits_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2 - 1)}}$,

gdzie:
$d_i = Rx_i-Ry_i$ to różnica pomiędzy $i$-tą rangą dla zmiennej $x$, a $i$-tą rangą dla zmiennej $y.$

Jest to jednak prostsza obliczeniowo wersja oryginalnego wzoru, która nie uwzględnia rang wiązanych. Istnieje założenie w środowiskach naukowych, które mówi że powyższego wzoru nie powinno się używać do określania korelacji, jeżeli rangi wiązane stanowią ponad 25% całego zbioru danych. W przeciwnym wypadku należy stosować bardziej ogólną wersję wzoru:  

$r_S =$$\frac{\frac{1}{6}(n^3-n)-\left( \sum\limits_{i=1}^n d_i^2 \right) -T_x-T_y}{\sqrt{\frac{1}{6}(n^3-n)-2T_x)(\frac{1}{6}(n^3-n)-2T_y)}}$,

gdzie:
$d_i = Rx_i-Ry_i$ to różnica pomiędzy $i$-tą rangą dla zmiennej $x$, a $i$-tą rangą dla zmiennej $y,$
$Tx,Ty$ to współczynniki dla rang wiązanych liczone według wzoru:
 

$T=\frac{1}{12} \sum\limits_{j}(t_j^3 - t_j)$,

gdzie:
$t_j$ to liczba obserwacji mających $j$-tą rangę w analizowanym zbiorze danych.

Współczynnik korelacji $rho-Spearmana$ przyjmuje wartości z zakresu $\langle-1,1\rangle,$ gdzie znak przy wartości współczynnika określa kierunek korelacji (dodatni -  wzrost wartości jednej zmiennej definiuje wzrost wartości drugiej zmiennej; ujemny -  wzrost wartości jednej zmiennej definiuje spadek wartości drugiej). Wartość bezwzględna współczynnika korelacji określa siłę zależności pomiędzy zmiennymi, gdzie $0$ to brak zależności natomiast $1$ to idealna korelacja.

Podobnie jak w przypadku korelacji parametrycznej $r-Pearsona,$ w tym przypadku również należy sprawdzić istotność statystyczną uzyskanej zależności. Aby zrealizować to zagadnienie należy postawić następujące hipotezy:

$H_0: r = 0$ - zależność cech jest nieistotna
$H_1: r \neq 0$ - zależność cech jest istotna

Do weryfikacji hipotezy stosujemy test $t$:

$t =$$\frac{r_S} {\sqrt{1-r_S^2}}$$\sqrt{n-2}$,

gdzie:
$r_S$ to współczynnik korelacji Spearmana,
$n$ to liczebność populacji.

Dla danej wartości testu $t,$ odczytujemy wartość istotności $p.$ Zwykle w badaniach statystycznych przyjmujemy poziom istotności$p^* = 0,05.$ Jeżeli $p > p^*$ przyjmujemy $H_0.$ Jeżeli $p < p^*$ odrzucamy $H_0$ na rzecz $H_1.$

Przykład

Wygenerowano zestaw obserwacji charakteryzujący IQ i wykształcenie badanych, aby sprawdzić czy zamienne korelują ze sobą. 

Następnie wyznaczono rangi dla IQ:

oraz wykształcenia:

Obliczono kwadrat różnic rang dla obu zmiennych:

$\sum d^2= 38,5$,

a także współczynniki dla rang wiązanych:

$T_x = 19$

$T_y = 17$

Następnie obliczono współczynnik korelacji $rho-Spearmana$ dla uproszczonego wzoru:

$r_S = 1 -$${\frac {6 \cdot 38,5}{15(15^2 - 1)}}$,

oraz dla wzoru uwzględniającego rangi wiązane:

$r_S =$$\frac{\frac{1}{6} \cdot (15^3 - 15)- 38,5 - 19 - 17}{\sqrt{\frac{1}{6}(15^3-15)-2 \cdot 19)(\frac{1}{6}(15^3-15)-2 \cdot 17)}}$,

Ostatecznie spawdzono istotność współczynnika korelacji $rho-Spearmana$ (bazując na wyniku uwzględniającym rangi wiązane):

$t =$$\frac{0,93} {\sqrt{1-0,93^2}}$$\sqrt{15-2} = 8,88$,

Dla obliczonej wartości testu $t$istotność wynosi:

$p < 0,001$

Jako, że $p < p^*$ to odrzucamy $H_0$ na rzecz $H_1.$