Test t-studenta dla 2 populacji

$H_0:\mu_1 =\mu_2$

$H_1:\hspace{1cm} 1.\mbox{ } \mu_1\neq\mu_2 \hspace{2cm} 2. \mbox{ }\mu_1>\mu_2 \hspace{2cm} 3. \mbox{ }\mu_1<\mu_2$

Przykład

Uwaga W poniższym przykładzie zakładamy normalność rozkładów oraz jednorodność wariancji w grupach. W praktyce założenia te powinny zostać zweryfikowane; normalność można sprawdzić testem normalności Shapiro-Wilka, zaś jednorodność wariancji - testem równości wariancji dla 2 populacji lub testem równości wielu wariancji. W przypadku braku pewności co do prawdziwości tych założeń w omawianej sytuacji zaleca się wykonanie nieparametrycznego testu U Manna-Whitneya.

W celu sprawdzenia, czy kobiety palą więcej papierosów niż mężczyźni przeprowadzono badanie, w którym wzięło udział 20 palących kobiet i 20 palących mężczyzn. Zapytano ich o średnią ilość wypalanych papierosów w ciągu dnia.

Rozkład odpowiedzi ukształtował się następująco:
kobiety: = 9, 16, 17, 13, 12, 7, 10, 12, 6, 8, 4, 11, 5, 8, 5, 9, 17, 14, 3, 5
mężczyźni: = 5, 8, 8, 8, 9, 9, 5, 8, 7, 5, 14, 13, 3, 6, 15, 12, 4, 11, 7, 18, 15, 5, 9, 5, 9
W celu wyznaczenia statystyki testowej wyznaczamy najpierw następujące elementy:

wartość średnią wśród badanych kobiet i mężczyzn odpowiednio:

$\overline{X_K} =\frac{9+16+\cdots +3+5}{20}\approx  9,5$

liczności obu grup: wariancję wśród grupy badanych kobiet i mężczyzn: Statystyka testowa dla zebranych danych przyjmie wartość: W tym przypadku naszą hipotezą alternatywną jest $H1 : mK > mM,$ stąd zbiór krytyczny będzie prawostronny i dla $\alpha = 0,01$, $ P(t_\alpha)=2*0,05=0,1$ i 38 stopni swobody obliczona wartość statystyki testowej nie wpadnie w przedział krytyczny określony granicami $\left[1,686;\infty\right)$. Stąd wniosek, że różnica w liczbie wypalanych dziennie papierosów pomiędzy palącymi kobietami i palącymi mężczyznami nie jest istotna.