Miary zmienności

Miary zmienności - dostarczają informacji jak bardzo zróżnicowana jest populacja pod względem badanej cechy X.

 

Wariancja s2

Parametr ten wyraża stopień rozrzutu wartości zmiennej losowej (badanej cechy) wokół wartości oczekiwanej. Im większa wariancja, tym rozrzut zmiennej jest większy.

Wariancję w próbie obliczamy za pomocą wzoru (wzór na estymator nieobciążony wariancji):

$s^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$

Nieznacznie inną postać ma wzór na wariancję z populacji:

$s^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$

·         Odchylenie standardowe $s$ file_downloaddownload

Odchylenie standardowe z próby obliczamy jako pierwiastek z wariancji z próby. Odchylenie standardowe w populacji obliczamy jako pierwiastek z wariancji w populacji. Czyli

$s=\sqrt{s^2}$

Odchylenie  standardowe mówi nam o przeciętnym odchyleniu wartości zmiennej losowej od jej wartości oczekiwanej. Im odchylenie standardowe (bądź też wariancja) jest większe, tym większe zróżnicowanie w badanej populacji.

Odchylenie przeciętne d

W przypadku próby odchylenie przeciętne wyraża się wzorem:

$d=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n |x_i-\bar{x}|$

Współczynnik zmienności V

W sytuacji, kiedy chcemy porównać zróżnicowanie tej samej cechy X w dwóch lub więcej populacjach, dobrym wyjściem jest wykorzystanie współczynnik zmienności. Dysponując danymi  z próby współczynnik zmienności obliczamy za pomocą wzoru:

$V=\frac{s}{\bar{x}}$

Z oczywistych względów obliczenie tego współczynnika jest możliwie jedynie w przypadku, gdy $x\neq 0$

Zmienności opisywanej cechy nie należy porównywać za pomocą wariancji bądź odchylenia ponieważ wartości te zależą od wielkości, w jakiej dana cecha jest wyrażona w populacji.  Sytuację tę obrazuje następujący przykład.

Przykład:

Średnia miesięczna sprzedaż i odchylenie standardowe w roku 2012 w dwóch fabrykach czekoladek wyniosły odpowiednio:

I fabryka:  $\bar{x}=1500kg$, $s=120kg$

II fabryka:   $\bar{x}=200kg$, $s=30kg$

Obliczając współczynnik zmienności miesięcznej sprzedaży czekoladek w oby fabrykach otrzymujemy:

I fabryka:  $V=\frac{120}{1500}=0,08$

I fabryka:  $V=\frac{30}{200}=0,15$

A zatem widzimy, że zróżnicowanie miesięcznej sprzedaży w fabryce II było większe niż w fabryce I, mimo, iż porównując odchylenia standardowe, moglibyśmy wyciągnąć błędny wniosek, że jest odwrotnie.

Rozstęp R

Rozstęp to różnica pomiędzy największą a najmniejszą wartością badanej cechy w próbie.

·         Typowy obszar zmienności XTyp

Typowy obszar zmienności to przedział, którego granice wyznaczamy następująco:

$x_{typ}=[\bar{x}-s,\bar{x}+s]$

W przedziale tym zwykle mieści się około $\frac{2}{3}$ wszystkich obserwacji.